Un viaje a través de algunos genio matemáticos

CHARLA: «UN VIAJE A TRAVÉS DE ALGUNOS GENIOS MATEMÁTICOS»

Dentro de la Semana Cultural del centro se celebró la charla: «Un viaje a través de algunos genios matemáticos», cuyo objetivo es hacer un viaje emocionante por la Historia de las Matemáticas a través de algunos genios matemáticos.
Su comienzo fue mediante algunas frases célebres: «Las Matemáticas es la reina de las ciencias y la Aritmética es la reina de las Matemáticas» (C.F. Gauss, 1777-1855); «El universo, el mundo está escrito con caracteres matemáticos» (Galileo Galilei, (1564-1642); «Dios creó los números naturales, lo demás es obra nuestra» (L. Kronecker, (1823-1891).
¿Por dónde comenzar este viaje apasionante por la Historia de las Matemáticas? Pues, la estación de salida fue la civilización griega. El siglo VI a. C. fue clave, ya que significó el paso del mito al logos, es decir, del mito a la razón o el pensamiento, lo cual constituyó el nacimiento de la Filosofía y también de las Matemáticas. Esto supuso un salto cualitativo y fundamental en la evolución humana. Lo que significó el paso de la Matemática empírica a la Matemática deductiva. Comenzando por el primer matemático griego Tales de Mileto (ca. 624-548 a. C.), seguimos por Pitágoras (570-490 a. C.), nació en Samos, pero se instaló en Crotona sur de Italia, fue el padre de las Matemáticas y del origen etimológico de la palabra Filosofía, fundador de una sociedad llamada fraternidad de los pitagóricos con sus principios filosóficos y matemáticos, «Todo es número», afirmaban. Descubrieron entre otras cosas, la relación de las Matemáticas con la Música, el célebre Teorema de Pitágoras, los números irracionales, lo cual provocó una crisis profunda entre los pitagóricos y consiguiente desaparición. Continuamos con dos grandes filósofos: Platón (427-345 a. C.) discípulos de Sócrates (470-399 a. C.) que sobre el conocimiento dijo: «Solo sé que no se nada», fundador de la famosa Academia en Atenas, donde transmitía sus conocimientos, con un letrero en el frontispicio: «Nadie entre aquí que no sepa Geometría». Por su parte Aristóteles (384-322 a.C.) su discípulo fundó el famoso Liceo en Atenas donde transmitía sus conocimientos propios y distintos de su maestro y que fue el gran sistematizador de la Lógica con sus leyes.
Euclides (ca. 325-270 a.C.) en Alejandría escribió la gran obra de los Elementos (con 13 libros) con gran influencia durante siglos sobre las Matemáticas, donde recoge buena parte de los conocimientos hasta entonces y presenta las Matemáticas de forma deductiva. El Libro I presenta 23 definiciones y 5 axiomas o postulados, el 5º dice por un punto exterior a una recta sólo se puede trazar una paralela y que tuvo mucha importancia posterior. Con este equipaje demuestra 48 proposiciones, p.e.: la proposición 47 es el Teorema de Pitágoras y la 48 es el recíproco de dicho teorema. En los Libros del VIII al IX trata de lo que actualmente se conoce como Teoría de Números: nociones de divisibilidad, factores, múltiplos, gran Teorema de la existencia de infinitos primos, etc.
Otro de los grandes fue Arquímedes de Siracusa (ca. 287-212 a.C.), ingeniero, físico y matemáticos escribió 10 obras donde expuso sus conocimientos y aportaciones, p.e. relación de la longitud de la circunferencia y el área con el número π, principio de Arquímedes (recordemos el grito ¡Eureka, eureka! Expresa la alegría del descubrimiento), espiral de Arquímedes, libro de la esfera y el cilindro (la esfera inscrita en un cilindro se verifica: Sc=3/2 Se ; Vc= 3/2 Ve), el libro sobre el Arenario, etc.
La siguiente estación fue el Renacimiento y la Edad Moderna: ss XVI-XVIII. El Renacimiento en Europa es un periodo muy fecundo en todos los órdenes de la vida cultural, científicos, artísticos, etc. La Matemática en Italia fue capaz de resolver mediante radicales, es decir, una fórmula la ecuación de tercer y cuarto grado, aquí los personajes que intervinieron con sus disputas y desafíos sobre su descubrimiento fueron: Scipione del Ferro (1465-1526), Nicolás Tartaglia (1500-1557), Girolamo Cardano (1501-1576) y Ludovico Ferrari (1522-1565).
Pasamos ahora una serie de matemáticos franceses importantes. Comenzamos con René Descartes (1596-1650) primer filósofo de la Edad Moderna con su famosa obra el Discurso del Método, donde intentó hacer avanzar a la Filosofía imitando el modelo de la Matemática, aquí escribió: «Pienso, luego existo». Fue matemático por accidente, como apéndice a dicha obra escribió la Geometría (1637), donde creó la Geometría Analítica, fusión del Álgebra y la Geometría que consiste en estudiar las propiedades de las figuras geométricas mediante el Álgebra.
Pierre Fermat (1601-1665), jurista de profesión conocido entre los matemáticos por el «Príncipe de los aficionados a las Matemáticas», no publicó sus descubrimientos, lo hizo su hijo Samuel en 1679 y escribió en los márgenes de un ejemplar de la Aritmética de Diofanto de Bachet. Algunas de sus contribuciones fueron en especial a la Teoría de Números: Gran Teorema de Fermat, que dice: La ecuación xn + yn = zn, con x,y,z єZ, con n>2, no tiene soluciones enteras. Conjetura demostrada por Andrew Wiles en 1995. Otra cuestión: ¿Existen infinitos primos de la forma Fn= 2k +1, con k=2n (primos de Fermat)? Hizo algunos avances en el Cálculo diferencial, como cálculo de extremos.
Christian Golbach (1690-1764), mantuvo correspondencia con Euler y se hizo célebre por la conjetura que formuló en 1742: Conjetura fuerte de Golbach dice: Todo número par mayor que 2 es suma de dos primos, p.e.: 4=2 +2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7=5+5, etc. y la consecuencia, Conjetura débil de Golbach: Todo número impar mayor que 5 es o bien primo o bien suma de tres primos, p.e.: 9=3+3+3, 15=5+5+5=3+5+7, 21=3+7+11, etc. Todavía están sin demostrar.
Agustín-Louis Cauchy (1789-1857), algunas de sus contribuciones fueron: 1ª Memoria «Teoría de los Poliedros», donde demuestra que no existen más que 5 poliedros regulares que tienen 4, 6, 8, 12 y 20 caras y la relación: C+V= A+2. Sistematizó y fundamentó el Análisis Matemático, es decir, el Cálculo Diferencial y el Cálculo Integral, mostrando la relación estrecha entre la derivada y la integral, estudio de series infinitas, funciones de variable compleja, demostración del Teorema de Fermat: Todo número natural puede expresarse como suma de 3 números triangulares, cuatro números cuadrados, 5 números pentagonales, etc. Llegó a publicar 789 artículos matemáticos. Aquí se propuso la tarea a los alumnos la investigación de los diferentes tipos de números poligonales, formación y aplicaciones.
Leonardo Euler (1707-1783) es uno de los matemáticos más prolíficos, toco muchas partes de las Matemáticas, figura dominante del periodo de 1727 al 1783. Sus obras completas, las Opera Omnia, tienen 866 trabajos. La academia de San Petersburgo siguió publicando artículos después de su muerte. Un matemático francés P.S. Laplace (1749-1827), decía: «Leed a Euler, es el maestro de todos nosotros». Euler contribuyó al desarrollo de muchas partes de las Matemáticas: a) Análisis Matemático: noción de función, logaritmo, números complejos, derivadas, integrales, series infinitas, etc. Introdujo algunas notaciones fundamentales, tales como: el número e, i=√-1, ∞, ∑, ln n, sen x, cos x, tg x, cotg x, sec x, cosec x, etc.; b) Teoría de Números: demostración de resultados conjeturados por Fermat o refutando otros, etc. así p.e. en 1738, demuestra los casos n=3 y n=4 del gran Teorema de Fermat; c) Álgebra, Geometría, Combinatoria, Variable Compleja, Teoría Analítica de Números, etc. Euler tenía una gran capacidad de trabajo, a pesar de las dificultades de tipo físico, pues perdió la visión de un ojo a los 33 años y al final se quedó ciego, pero siguió investigando y demostrando resultados, que los dictaba. Es de admirar el espíritu de superación que tenía.
La siguiente estación de este viaje apasionante por la Historia de las Matemáticas es ahora en la Edad Contemporánea: ss XIX-XX. Aquí nos encontramos con C. F. Gauss (1777-1855), considerado junto con Arquímedes y Newton uno de los matemáticos más grandes de todos los tiempos. Fue un niño precoz y muy brillante, con muchas anécdotas, así bromeaba diciendo que aprendió a «Calcular antes que hablar»; aprendió por sí mismo a leer, autodidacta por si sólo estudió y profundizó la Aritmética, gran capacidad de cálculo y una memoria prodigiosas y gran capacidad para el aprendizaje de distintas lenguas. Así p. e. a los 8 años sorprendió a su maestro J.G. Bütner con un rasgo de genialidad, la tarea consistía en hallar la suma de los cien primeros números naturales, la respuesta de Gauss fue inmediata: 5050. La cuestión es ¿cómo lo hizo? Mentalmente y dejamos al amable lector averiguarlo y a probar su capacidad matemática. Aunque los alumnos asistentes a la charla lo recordarán con alegría. Otro episodio clave en su vida fue cuando tenía 18 años y tenía dudas si dedicarse a la Filología o a las Matemáticas, pero el 30-3-1796, hizo un descubrimiento que fue su «Jornada de Damasco» que consiste en la construcción de un polígono regular de 17 lados mediante regla y compás, desde entonces se dedicaría a las Matemáticas, iniciando su Diario Personal con 146 anotaciones y la 1ª fue la anterior. Su doctorado en 1799 demostró el Teorema Fundamental del Álgebra: «Toda ecuación polinómica de grado n, tiene en los números complejos al menos una raíz (por inducción las tiene todas)». Su legado científico es enorme, tanto en Matemáticas Puras como Aplicadas, si bien publicó poco, pues su lema era: «Poco pero maduro». Así recordemos sólo: En Estadística la campana de Gauss, el método de Gauss de resolución de Sistemas de ecuaciones lineales, el método de mínimos cuadrados, Geometría no Euclídea, aquí no lo publico, etc.
Ahora nos detuvimos ante dos jóvenes matemáticos: Niels Henrik Abel (1802-1829) y Evariste Galois (1811-1832), ambos tuvieron una vida breve y desgraciada, el primero falleció de tuberculosis y el segundo en un duelo por cuestiones de amores.
Abel (un matemático romántico): publico en1824 una memoria titulada Sobre la resolución algebraica de ecuaciones, donde demuestra la imposibilidad de resolver la ecuación de 5º grado mediante radicales, es decir, mediante una fórmula.
Galois (matemático revolucionario): presentó un ensayo a la Academia de Ciencias de París titulada Sobre las condiciones de resolubilidad de las ecuaciones por radicales, donde expresa de un modo un tanto confuso cuáles son dichas condiciones. Pero le fue devuelta con la recomendación de que la redactara más claramente, lo cual no pudo ser por el fatídico desenlace trágico de su vida.
Entramos ahora en la estación de la crisis de la Matemática en los siglos XIX y XX. Las causas principales fueron: fundamentación de los números reales (Cuestiones de irracionalidad), fundamentación del Análisis Matemático y el nacimiento de las Geometrías no Euclídeas. Aquí intervienen dos jóvenes matemáticos: Janos Bolyai (1802-1860) y Nicolai Ivanovich Lobachevski (1793-1856), ambos descubrieron independientemente una Geometría no Euclídea, conocida con el nombre de Geometría Hiperbólica, según la cual por un punto exterior a una recta pasan infinitas rectas paralelas y en consecuencia la suma de los ángulos de un triángulo suman menos de 180º.
Otro matemático alemán discípulo de Gauss, Bernhard Riemann (1826-1846), descubrió otro tipo de Geometría no Euclídea, denominada Geometría Elíptica, donde por un punto exterior a una recta no pasa ninguna paralela y en consecuencia la suma de los ángulos de un triángulo suman más de 180º.
Todo esto era consecuencia de que el 5º axioma de las paralelas de Euclides era independiente de los otros cuatro y el fundamento de las Geometrías no Euclídeas es la Lógica y por tanto son consistentes, es decir, no tienen contradicciones.
Seguimos con las crisis en los fundamentos de la Matemática. Aquí surgen tres escuelas, a saber: a) Escuela Logicista, algunos de sus representantes más relevantes fueron G. Frege (1878-1973), B. Russell (1872-1970) y K.W.T. Weierstrass (1815-1897). Su objetivo y tarea fundamental era derivar toda la Matemática de la Lógica. Fue un fracaso; b) Escuela Intuicionista, cuyos representantes más relevantes fueron L. Kronecker (1823-1891), J. H. Poincaré (1854-1912) y L. E. J. Brower (1861-1966). Radicalmente opuesta a la anterior. El fundamento de las matemáticas es la intuición y las Matemáticas deben ser siempre constructivas. No se admiten demostraciones indirectas y tampoco se admiten demostraciones por reducción al absurdo. Consiguieron algunos logros, pero se trata de una Matemática muy reduccionista y se pierden muchos logros y resultados; c) Escuela Formalista, cuyo representante principal fue D. Hilbert (1862-1943). El programa formalista consiste en traducir las Matemáticas a un lenguaje formal. Su método es el axiomático, que consiste en un conjunto completo y coherente de axiomas, que se desarrollan según leyes establecidas en dicho conjunto. Esta axiomática debe satisfacer dos condiciones: Completitud, es decir, que todo enunciado sea posible demostrarlo y Coherencia o consistencia, es decir, que no hay contradicciones dentro del sistema. También es importante la Decisión, es decir, determinación efectiva de que una proposición dentro del sistema es una consecuencia lógica del mismo.
Aquí entra en acción un matemático joven, Kurt Gödel (1906-1978), que con su Teorema de Incompletitud en 1931, pone fin al proyecto de formalización y axiomatización de Hilbert. Este Teorema viene a decir que existe una proposición no demostrable en esta Teoría, es decir, que existen proposiciones indecidibles en esta Metamatemática o Escuela Formalista. Este resultado de Gödel es el más importante de la Lógica Matemática y es un cambio de paradigma en las Matemáticas. No todo se puede demostrar.
Un matemático de la Escuela Intuicionista H. Weyl (1885-1955), dijo: «Dios existe porque la Matemática es consistente, y el diablo existe porque no podemos demostrar dicha consistencia».

Con esto ponemos fin a nuestro emocionante viaje por la Historia de las Matemáticas a través de algunos genios matemáticos y terminamos con algunas conclusiones.
a) Se debe aprovechar la Historia de las Matemáticas en su enseñanza.
b) Algunas de las razones para ello: Visión de la actividad humana de las Matemáticas, con sus glorias y sus miserias.
c) Ayuda a presentar los temas que ser abordan en el currículo.
d) Por su valor educativo, formativo y cultural.
e) Quién, qué, cómo, cuándo, por qué, contexto histórico, son cuestiones que ayudan en la labor didáctica de la Matemáticas.
f) Ayuda a descubrir los errores, dificultades y obstáculos en los conocimientos matemáticos.
g) Animo tanto a profesores como alumnos, a que viajéis a través de algunos genios matemáticos por la Historia de las Matemáticas. Se trata de un viaje apasionante y emocionante.

Finalmente presentamos unas referencias bibliográficas sobre este viaje:
1. BOYER, C.B., Historia de la Matemática, Alianza Universidad textos, Madrid 1996.
2. COLLETTE, J. P., Historia de las Matemáticas, Vol. I-II, Siglo XXI Editores, Madrid 1985.
3. WILLIAM, D., Viaje a través de los genios, Pirámide, Madrid 2002.
4. WILLIAM, D., El universo de las Matemáticas, Pirámide, Madrid 2004.